b_x=29/2; b_z=-51/2; c_y=-9

Si dos vectores son perpendiculares, el ángulo que forman entre ellos es de 90^º, lo que implica que el coseno de este ángulo es nulo. Por tanto, el producto escalar de los dos vectores, donde aparece el coseno del ángulo que forman, debe ser nulo. Entonces, si a, b y c son perpendiculares el producto escalar de cualquiera de ellos es nulo:

a · b=0

a · c=0

b · c=0

Tendremos entonces las expresiones:

a · b=0 ⇒ (5i+2j+3k) · (b_xi+2j+b_zk)=0 ⇒ 5b_x+4+3b_z=0

a · c=0 ⇒(5i+2j+3k) · (3i+c_yj+k)=0 ⇒ 15+2c_y+3=0
2c_y=-18
c_y=-9

b · c=0 ⇒ (b_xi+2j+b_zk) · (3i+c_yj+k)=0 ⇒ 3b_x+2c_y+b_z=0

Como conocemos ya el valor de c_y esta tercera expresión queda:

3b_x+2c_y+b_z=0 ⇒ 3b_x+2(-9)+b_z=0 ⇒ 3b_x-18+b_z=0

Tenemos entonces dos ecuaciones y dos incógnitas, que son:

5b_x+4+3b_z=0

3b_x-18+b_z=0

Multiplicamos la segunda por (-3) y tenemos:

5b_x+4+3b_z=0

-9b_x+54-3b_z=0

Si sumamos las dos ecuaciones:

 

Y despejando de una cualquiera de las ecuaciones b_z tendremos: