Como:

a+b+c=0 ⇒ a+b=-c

Si multiplicamos ambos miembros de esa ecuación vectorialmente por b tendremos:

b X (a+b)=-b X c

El producto vectorial tiene la propiedad distributiva luego:

b X a + b X b=-b X c

El producto vectorial de un vector por sí mismo es nulo (ya que serían dos vectores paralelos y el seno del ángulo que forman sería cero); entonces:

b X a=-b X c

Además, el producto vectorial no es conmutativo. Si se altera el orden de los factores el resultado cambia de signo luego nos quedaría

b X a=-b X c ⇒ –a X b=-b X c

Y simplificando los signos negativos:

a X b=b X c

Ahora partimos de la misma expresión que antes:

a+b+c=0 ⇒ a+b=-c

Multiplicamos los dos miembros vectorialmente por a:

a+b=-c ⇒ a X (a+b)=-a X c

Como el producto vectorial tiene la propiedad distributiva:

a X (a+b)=-a X c ⇒ a X a+a X b=-a X c

El producto vectorial de un vector por sí mismo es nulo:

a X a+a X b=-a X c ⇒ a X b=-a X c

Además, el producto vectorial no es conmutativo. Si se altera el orden de los factores el resultado cambia de signo luego nos quedaría

a X b=-a X c ⇒ a X b=c X a

a X b=c X a