Problema de Dinámica de la Partícula

Un bloque de masa 5 kg comienza a subir por un plano inclinado 30o con una velocidad inicial de 20 m/s. a) ¿Qué distancia recorrerá antes de detenerse si el coeficiente cinético de rozamiento vale 0.25?. b) Si el coeficiente estático de rozamiento es 0.45, ¿volverá a bajar el bloque después de haberse detenido?; en caso afirmativo, ¿cuál será su velocidad al llegar de nuevo al comienzo del plano?

a) s=28.48 m
b) sí; v=12.56 m/s

a) Hacemos el diagrama del sólido libre del bloque:

Aplicamos la segunda ley de Newton: ΣF = m a. En las direcciones X e Y:

ΣFx = m ax ⇒ -m g cos 60º– Fr = m ax

ΣFy = m ay ⇒ N – m g cos 30º = m ay = 0 ⇒ N = m g cos 30º

Fr =(Fr)máx= µc N =µcm g cos 30º siendo µc el coeficiente de rozamiento cinético

Para determinar el valor de la fuerza de rozamiento Fr hemos tenido en cuenta que el bloque se está moviendo, por lo que será máximo y se opondrá al movimiento.

De las ecuaciones anteriores tenemos:

El bloque tiene una aceleración constante, hacia abajo de 7.021 m/s2. Es, por tanto, un movimiento uniformemente decelerado.

vf=vi – a t =0 ⇒ t=vi/a

d= vi t-(1/2) a t2

d=(1/2)(vi2/a) = 28.48 m

Fr=(Fr)máx=µc N =µc m g cos 30º siendo µc el coeficiente de rozamiento cinético

Podríamos haber resuelto el problema aplicando el teorema de las fuerzas vivas:

ΣF x d = ΔEc

m g d cos 240º + Fr d cos 180º+ N d cos 90o = 0 – (1/2) m vi

Como el bloque se desplaza hacia arriba en el plano inclinado el vector desplazamiento, d, tiene la dirección del eje X, de la figura, y sentido positivo.

b) Después de recorrer el bloque la distancia «d», hacia arriba del plano inclinado se detiene momentáneamente, e iniciará el movimiento hacia abajo si la componente del peso en la dirección del plano inclinado es mayor que la fuerza de rozamiento estático máxima.

En ese instante el diagrama de sólido libre será:

m g cos 60º= 5 kg 9.8 m/s2 (1/2) = 24.5 N

(Fr)máx=µe N = µe m g cos 30º= 0.45 5 kg 9.8 cos 30º = 19.09 N

Como mgcos60o > µemgcos 30º el bloque comienza a deslizar hacia abajo y, a partir de ese instante, el valor de la fuerza de rozamiento disminuye hasta un valor igual a µcmgcos30º

Para determinar la velocidad del bloque al llegar de nuevo al comienzo del plano, o lo que es lo mismo, cuando ha recorrido hacia abajo los 28.48 m que recorrió hacia arriba, podemos aplicar nuevamente el teorema de las fuerzas vivas o la segunda ley de Newton y las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado. En este segundo caso:

mgcos 60º-µcmgcos 30º= m a ⇒ a=g(cos 60º– µc cos 30º) = 2.78 m/s2

-vf = vi -a t =-a t ⇒ t= vf/a-d= vi t-(1/2) a t2 =-(1/2) a t2 ⇒