a) Δx_máx=0.25 m
b) v₁´=-3 m/s;v ₂´=11 m

a) Como no existen fuerzas externas al sistema formado por los partículas (m₁ y m₂) , su momento lineal: p permanece constante. Inicialmente p=m ₁v₁+m₂v₂.

Al alcanzar m₁ a m₂, el muelle empieza a comprimirse, la velocidad de m₁ disminuye mientras que la velocidad de m₂ aumenta, y el muelle seguirá comprimiéndose hasta que se igualan momentáneamente ambas velocidades .A partir de ahí la velocidad de m₂ seguirá aumentando y la de m₁ disminuyendo hasta que se descomprime el muelle y las partículas se separan.

En el momento de máxima compresión, siendo v la velocidad, tendremos por tanto: m₁v₁+m₂v₂= m₁v+m₂v y como todos los vectores tienen la misma dirección y sentido podemos poner:

Durante el proceso se ha conservado la energía total entre el instante anterior al contacto (instante 1) y el de máxima compresión (instante 2); teniendo en cuenta que la energía potencial gravitatoria no varía por no variar la altura, inicialmente el sistema tiene sólo energía cinética correspondiente a las dos velocidades de las esferas, y al final tiene energía cinética por la velocidad v y energía potencial elástica, ya que el resorte está deformado. Por conservación de la energía:

m₁v₁²+m₂v₂²=(m₁+m₂)v²+kΔx_máx² ⇒ 2 · 17²+5 · 3²=(2+5)7²+4480Δx_máx² ⇒ 280=4480Δx_máx²

Δx_máx=0.25 m

b) Ahora aplicaremos la conservación de la energía total entre el momento en que el resorte tiene la máxima compresión (instante 2) y el momento en que las dos esferas se separan (instante 3) (o bién entre 1 y 3, la energía que se almacena en la compresión se devuelve cuando el muelle se descomprime):

m₁v₁²+m₂v₂²=(m₁+m₂)v²+kΔx_máx²=m₁v₁´²+m₂v₂´² ⇒ (2+5)7²+4880 · 0.25²=2v₁´²+5v₂´² ⇒
623=2v₁´²+5v₂´²

Además se conserva el momento lineal

m₁v+m₂v=m₁v₁´+m₂v₂´ ⇒ (m₁+m₂)v= m₁v₁´+m₂v₂´ ⇒ (2+5) 7=2 v₁´+5 v₂´

Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas:

623=2v₁´²+5v₂´²

49=2v₁´+5v₂´

De la segunda ecuación:

Y sustituyendo en la primera:

623=2v₁´²+5v₂´² ⇒ 623=2v₁´+5(9.8-0.4v₁´)² ⇒ 623=2v₁´+480.2+0.8v₁´²-39.2v₁´

Debemos descartar la primera solución ya que implicaría que la esfera de atrás va más deprisa que la de delante y eso no es posible. Entonces:

v₁´=-3 m/s

Y la otra velocidad:

v₂´=9.8-0.4v₁´=9.8-0.4 · (-3)=11 m/s

v₂´=11 m/s