a) Tomaremos para todo el problema el eje X horizontal y el eje Y vertical.

La masa m₂ se coloca sobre m₁ en el punto de máxima elongación, en el cual la aceleración de m₁ es máxima y vale en módulo:

a=a_máx=ω²A

esa aceleración es la que adquirirá m₂ al no existir deslizamiento

Antes de colocar m₂ tendremos la masa m₁ unida al resorte de constante k, para la cual, teniendo en cuenta el diagrama de sólido libre mostrado en la figura:

Es la ecuación de un m. a. s. de frecuencia angular:

Al colocar la masa m₂, si la aislamos y dibujamos el diagrama de sólido libre tendremos que inmediatamente antes de empezar a deslizar la fuerza de rozamiento adquiere su valor máximo:

F_r=(F_r)_máx=µN₂

 

La normal la podemos sacar de la ecuación de la dinámica para el eje Y, en el cual no hay movimiento:

ΣF_y=0 ⇒ N₂-m₂g=0 ⇒ N₂=m₂g

Luego la fuerza de rozamiento vale:

F_r=µN₂=µm₂g

Para el eje X:

 

b) La energía total no se modifica. Antes de colocar m₂ como tenemos el sistema en la posición de máxima elongación la energía sólo será potencial elástica (no tendremos cinética porque el sistema está momentáneamente en reposo), y la elongación del resorte coincidirá con la amplitud del movimiento:

Inmediatamente después de poner m₂ tendríamos otro movimiento armónico simple con la misma amplitud aunque con una nueva frecuencia angular. En esa posición y después de poner m₂ tendremos que el sistema parte del reposo luego no tiene energía cinética, y la energía potencial elástica se corresponderá con un alargamiento del resorte igual a la amplitud del movimiento armónico simple:

Entonces:

E_T=E´_T

La amplitud hemos visto que no varía por situarse el cuerpo m₂ en el punto de máxima elongación: A´=A

Ahora si tenemos las dos masas m₁ y m₂ al trazar su diagrama de sólido libre tendríamos lo que aparece en la figura. Si aplicamos la segunda ley de Newton:

Es la ecuación de un movimiento armónico simple de frecuencia angular:

Y la frecuencia angular anterior ya la teníamos determinada en el primer apartado, luego las dos frecuencias son:

 

Para los períodos tendremos que antes de situar m₂ valdrá:

Y después de situar m₂ el nuevo período será:

Los dos períodos antes y después de incorporarse la segunda masa son: