Hz y una amplitud de 10 cm. Cuando la plataforma se encuentra en el punto más bajo de su trayectoria, se coloca un pequeño objeto sobre ella. a) ¿En qué posición de la plataforma dejará el objeto de estar en contacto con ella? b) ¿Hasta qué altura ascenderá el objeto por encima de la posición más alta alcanzada por la plataforma?a) y=3.828 cm
b) y´=4.978 cm
a) Vamos a analizar el movimiento del sistema plataforma-objeto desde el momento en que el objeto se coloca sobre la misma. En ese instante ambos están en reposo, su velocidad es nula pero no están en equilibrio, la fuerza que eferce el muelle que está comprimido no está equilibrada y por tanto el sistema plataforma-muelle tendrá una aceleración en la dirección y sentido de dicha fuerza.
Si se representan los diagramas de sólido libre se tendrá lo siguiente
y1 es la deformación del muelle en ese instante, que es la suma de la amplitud del m.a.s. y la deformación correspondiente al estado de equilibrio:
y1=(-y+Δl)
Si aplicamos la segunda ley de Newton y teniendo en cuenta que todas las fuerzas tienen la misma dirección::
N-mg=ma
Ky1-N-Mg=Ma
De ambas ecuaciones se deduce:
Ky1-mg-Mg=(m+M)a
El sistema empezará a moverse en la dirección y sentido de la fuerza Ky1, y su velocidad irá aumentando hasta llegar a la situación de equilibrio:
N’-mg=0
KΔl-N’-Mg=0
luego:
KΔl-mg-Mg=0
Si sustituimos en la situación anterior: Ky1-mg-Mg=(m+M)a:
Se llega a la ecuación de un m.a.s. donde w toma un valor:
A partir de esta situación de equilibrio, en la cual el sistema tiene una velocidad máxima hacia arriba, el muelle empieza a estirarse y el sentido de la fuerza que ejerce sobre el sistema cambia, variando también la aceleración:
mg-N=ma
Ky1+N+Mg=Ma
Cuando el valor de a se iguale al de la aceleración de la gravedad se obtendrá para N un valor igual a 0:
mg-N=mg ⇒ N=0
La plataforma, a partir de esta situación, deja de ejercer apoyo al objeto. Ahora sobre el objeto va a actuar solamente la fuerza de atracción gravitatoria «mg» y sobre la plataforma «Mg+Ky1«, por tanto la aceleración de la plataforma es mayor que la del objeto, y además irá aumentando hasta que su velocidad se anule.
Hemos de determinar la posición y velocidad que tiene el sistema en el momento en que se separan, es decir, cuando a=g, calculando también el espacio que recorre el objeto desde ese instante hata que su velocidad sea nula.
Como hasta el momento de la separación el sistema realiza un m.a.s., el desplazamiento, la velocidad y aceleración vienen dados por las expresiones:
y=-A cosωt
v=A ω senωt
a=A ω2 cosωt
En el instante en que se separan: a=g=A ω2 cosωt
Y en ese momento la elongación será:
y=A cosωt=0.1·0.3828 = 0.03828 m = 3.828 cm
y=3.828 cm
b) En ese mismo instante el seno valdrá:
La velocidad de ambos en ese momento será:
v=Aωsenωt=0.1 · 16 · 0.9238=1.478 m/s
A partir de este instante el objeto se separa de la plataforma y realiza un movimiento uniformemente decelerado con aceleración la de la gravedad, velocidad inicial la que acabamos de calcular y velocidad final nula. Aplicando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente decelerado:
vF2-v02=-2ae ⇒ 0-1.4782=-2 · 9.8e ⇒ e=0.1115 m=11.15 cm
Esa es la altura que sube el bloque con respecto al punto en que se separa de la plataforma. Respecto a la posición más alta alcanzada por la plataforma, que serán 10 cm por encima de su posición de equilibrio (amplitud del movimiento armónico simple) tendremos:
y´=e+A=11.15+3.828-10=4.978 cm
y´=4.978 cm