a) ymáxima=7.35 cm
b) sí en 4.58 cm
c) ymáx=5.07 cm
a) La frecuencia natural del oscilador es: . Como β=ω0 tenemos amortiguamiento crítico. La solución de la ecuación diferencial es:
y=(A0+A1t)e-βt.
Tenemos como condiciones iniciales que cuando t=0 ⇒ y=0 luego: y=(A0+A1t)e-βt ⇒ 0=A0
Nos queda la ecuación
y=(A0+A1t)e-βt=A1te-βt
Determinaremos ahora la velocidad derivando respecto del tiempo la ecuación de la posición:
Para t=0 ⇒ v=60 cm/s. Aplicando esta condición:
v=A1e-βt-βA1te-βt ⇒ 60=A1 ⇒ A1=60 cm
Ya tenemos todas las constantes, luego la ecuación de la elongación es:
y=A1te-βt=60te-3t
Y la de la velocidad:
v=A1e-βt-βA1te-βt=60e-3t-3·60te-3t=60e-3t-180te-3t
Ahora cuando el desplazamiento es máximo la velocidad es nula luego:
v=0 ⇒ 0=60e-3t-180te-3t ⇒ 0=60-180t ⇒ t=0.333 s
Y en ese instante la elongación (que es la máxima) será:
ymáx=60te-3t=60·0.333e-3 · 0.333=7.35 cm
b) Ahora, aunque el movimiento es el mismo, las condiciones iniciales varían. Vamos a calcular la ecuación, que como antes, será:
y=(A0+A1t)e-βt
Ahora tenemos que para t=0 ⇒ x=4 cm:
y=(A0+A1t)e-βt ⇒ 4=A0 ⇒ A0=4 cm
Y la ecuación nos queda:
y=(A0+A1t)e-βt=(4+A1t)e-βt
Además tenemos que para t=0 ⇒ v=-60 cm/s; la velocidad es:
Aplicando las condiciones de contorno:
v=A1e-βt-β(4+A1t)e-βt ⇒ -60=A1-4β ⇒ A1=-48 cm
La ecuación de la posición es:
y=(4+A1t)e-βt=(4-48t)e-3t
Y la velocidad:
v=A1e-βt-β(4+A1t)e-βt=-48e-3t-3(4-48t)e-3t
Para ver si se rebasa la posición de equilibrio vamos a ver cuándo se para el sistema, es decir, cuándo la velocidad es nula:
v=0 ⇒ 0=-48e-3t-3(4-48t)e-3t ⇒ 0=-48-3(4-48t) ⇒ 0=-48-12+144t ⇒ 144t=60
t=0.417 s
Para este tiempo la posición es: y=(4-48t)e-3t=(4-48·0.417)e-3 · 0.417=-4.58 cm
La posición de equilibrio es y=0 luego se rebasa esta posición en 0.58 cm
c) Ahora tenemos como antes que la frecuencia natural de la oscilación es: ω0=3 rad/s
Como β>ω0 el movimiento es sobreamortiguado. La solución de la ecuación será:
Las frecuencias son:
Nos queda la ecuación:
Tenemos que hallar las constantes A1 y A2. Como condiciones iniciales tenemos que cuando t=0 ⇒ y=0:
y=A1e-9t+A2e-t ⇒ 0=A1+A2 ⇒ A1=-A2
Y además conocemos también las condiciones iniciales de la velocidad. Para determinar la velocidad derivamos respecto del tiempo la ecuación de la posición:
Cuando t=0 ⇒ v=60 cm/s luego: v=-9A1e-9t-A2e-t ⇒ 60=-9A1-A2
Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas:
A1=-A2
60=-9A1-A2
Sustituyendo en la segunda ecuación lo que hemos obtenido en la primera:
60=-9A1-A2 ⇒ 60=9A2-A2 ⇒ 60=8A2 ⇒ A2=7.5 cm
Y la otra constante: A1=-A2=-7.5 cm
Por tanto nos queda una ecuación para la elongación:
y=A1e-9t+A2e-t=-7.5e-9t+7.5e-t
Y para la velocidad:
v=-9A1e-9t-A2e-t=-9 · (-7.5)e-9t-7.5e-t=67.5e-9t-7.5e-t
Ahora en el punto de máxima elongación la velocidad es cero:
v=67.5e-9t-7.5e-t ⇒ 0=67.5e-9t-7.5e-t ⇒ 9e-9t-e-t=0 ⇒ 9e-9t=e-t
Tomando neperianos:
ln(9e-9t)=ln(e-t) ⇒ ln9-9t=-t ⇒ ln9=8t
t=0.275 s
Y con este tiempo la posición (que será la máxima) es:
ymáx=-7.5e-9t+7.5e-t=-7.5e-9 · 0.275+7.5e-0.275=5.07 cm