Problema de Interferencias

Una persona se encuentra en lo alto de una torre de altura H=300 m. Hacia la base de la misma se acerca un móvil que dista inicialmente D=400 m con una velocidad constante de 108 km/h, emitiendo un sonido de frecuencia ν fija. El aire en que se efectúa la experiencia se encuentra a 17oC, existiendo un viento en el mismo sentido que el movimiento del móvil de 36 km/h de velocidad. Sabiendo que la frecuencia ν emitida por el móvil es 10 veces mayor que la del sonido fundamental producido por un tubo sonoro cerrado por un extremo y abierto por el otro de 2 m de longitud en el que el aire de su interior esté también a 17oC, determinar la frecuencia inicial del sonido percibido por la persona en lo alto de la torre. Velocidad del sonido en el aire a 0oC: 330 m/s.

ν=456.58 s-1

Pasamos las velocidades al Sistema Internacional:

vF=108 km/h=30 m/s; vW=36 km/h=10 m/s

Y la temperatura:

T=17ºC=290K

Vamos a ver cuánto vale la velocidad del sonido a 17ºC, que son las condiciones del problema. La dependencia de la velocidad con la temperatura es:

donde ϒ es la constante adiabática del gas, R es la constante de los gases perfectos, T es la temperatura y M es la masa molecular del gas. Para dos temperaturas dadas, por ejemplo, 0ºC y una temperatura T tendremos:

Dividiendo las dos expresiones:

Ahora vamos a calcular la frecuencia a la que emite el móvil. Para un tubo cerrado por un extremo:

Para el sonido fundamental:

Como la frecuencia que emite el móvil es 10 veces mayor:

ν=10νT=10 · 42.51=425.1 s-1

 

Ahora tenemos el sistema que aparece en la figura. El ángulo α vale:

Aplicamos la fórmula del efecto Doppler y tendremos:

El observador está en reposo y la fuente se acerca luego eligiendo los signos correctos:

Tenemos que proyectar las velocidades sobre la recta de unión observador-fuente y además en la velocidad de las ondas habrá que tener en cuenta la velocidad del viento, que en este caso favorecerá el movimiento del sonido:

vF=30cosα=30cos36.87º=24 m/s

v=340.12+vWcosα=340.12+10cos36.87º=348.12 m/s

Sustituyendo todo:

ν´=456.58 s-1