n´=2
Podemos considerar la esfera como un dioptrio, es decir, como una lente gruesa de espesor 2r y cuyas caras tienen radios de curvatura iguales de valor r. El Sol será un objeto O situado en el infinito. La primera cara de la lente dará una imagen O´ que actuará como objeto para la segunda cara del dioptrio. Dicha cara nos dará una imagen O´´ de O´ que será la imagen final, situada en esta segunda cara. Todo esto está representado en la figura. Aplicando el invariante de Abbe a la primera cara de la esfera:
De donde obtenemos:
Este valor es obviamente positivo, ya que tanto el índice de refracción de la esfera como su radio son positivos. La imagen O´ dada por la primera cara está entonces a la derecha de la primera cara. Supondremos en principio que está también a la derecha de la segunda, ya que no conocemos el valor de r ni de n´. A continuación actúa la segunda cara, para la cual el objeto será O´ (imagen dada por la primera cara) y la imagen será O´´. Aplicando de nuevo el invariante de Abbe y conociendo la distancia imagen, ya que la imagen final coincide con la cara 2 del sistema tendremos:
Hemos tenido en cuenta el índice de refracción del aire, que es la unidad, y que el radio de curvatura de la cara 2 es el mismo que el de la cara 1 pero con signo negativo. Despejando:
Haciendo el inverso obtenemos la distancia imagen:
Como la imagen coincide con la segunda cara:
Y además en el gráfico podemos ver que:
S´1-S2=2r
Luego sustituyendo valores:
n´=2