Problema de Teoría Cinética de los Gases

La figura representa un cilindro con paredes térmicamente aislantes, con un émbolo central móvil sin rozamiento y también aislado térmicamente. A cada lado del émbolo hay 54 l de un gas perfecto cuyo calor específico a presión constante es cp=4 cal/molK, a la presión de 1 atm y 0 oC. Mediante una resistencia eléctrica se suministra calor al gas del lado izquierdo; esta porción de gas se expande y comprime la de la derecha hasta que su presión resulta ser 7.29 atm. Calcular: a) temperatura final del gas de la izquierda; b) trabajo realizado sobre el gas de la derecha, teniendo en cuenta que este gas por estar totalmente aislado no puede intercambiar calor; c) calor suministrado al gas de la izquierda. Constante de los gases perfectos: R=2 cal/molK; 1 atm=101324.72 N/m2.

a) T1=3243.24 K
b) Wderecha=-9301.61 J
c) Q=69199.99 J

a) Al final tenemos que se ha establecido el equilibrio, luego las dos partes del cilindro están a la misma presión de 7.29 atm. Además la temperatura inicial es de 0ºC:

T0=0ºC=273 K

Para los calores específicos tendremos que:

cP-cV=R ⇒ cV=cP-R=4-2=2 cal/molK

Y el cociente entre las capacidades térmicas:

En el gas de la derecha no hay intercambio de calor. La transformación es adiabática y deberá cumplirse que:

Podemos así determinar el volumen final del gas de la izquierda. Inicialmente cada uno de los dos compartimentos tiene 54 l luego el volumen total del recipiente es:

VT=2V0=2·54=108 l

Y al final como el compartimento de la derecha tiene 20 l el de la izquierda tendrá el resto luego:

V1=VT-V2=108-20=88 l

Como se trata de un gas perfecto:

T1=3243.24 K

 

b) El trabajo realizado para comprimir el gas de la derecha será el necesario para comprimir un gas adiabáticamente:

Wderecha=-9301.61 J

 

c) El trabajo Wderecha lo ha realizado el gas que se expande en la parte izquierda, por lo que:

Wizquierda=-Wderecha=9301.61 J

Por otro lado la variación de energía interna en el gas de la izquierda será:

ΔU=ncVΔT=ncV(T1-T0)

El número de moles lo podemos obtener de la ecuación de los gases perfectos:

Y sustituyendo:

ΔU=ncV(T1-T0)=2.412·2(3243.24-273)=14329.76 cal=59898.38 J

Y a través del primer principio de la Termodinámica:

Q=ΔU+W=59898.38+9301.61=69199.99 J

Q=69199.99 J