Tendremos, como aparece en la figura, el vector B(t) (vector OP) función únicamente del escalar t. Cuando el escalar experimenta un incremento dt, el vector experimenta una variación:

dB=B(t+dt)-B(t)=PP´´+P´´P´

 

siendo B(t+dt) el vector OP´. Denominaremos u_t al vector unitario en la dirección del vector B(t) y u_n al vector unitario en dirección normal (perpendicular al vector). Podemos descomponer dB en estas dos componentes, y tendremos:

dB=P´´P´u_n+PP´´u_t

 

El vector P´´P´ será:

P´´P´=Bdα

Y el vector PP´´ es la variación del módulo de B:

PP´´=dB

Tendremos entonces:

dB=Bdα
u_n+dBu_t

 

Y dividiendo por dt tendremos la solución:

 

Tenemos otra forma de hacerlo. La componente tangencial de la derivada de un vector, indica la variación del módulo del vector, mientras que la componente normal indica la variación de la dirección del vector. Teniendo en cuenta esto, tendremos que el vector B(t) es:

B(t)=Bu_t=OPu_t

OP será el módulo del vector y u_t un vector unitario en la dirección del vector. Ambas cantidades don variables. Si derivamos respecto de t tendremos:

Como u_t es un vector de módulo constante su módulo será:

donde u_n es un vector normal (perpendicular) a u_t. Por tanto, sustituyendo en la expresión de la derivada de B y teniendo en cuenta que OP es el módulo del vector: