Problema de Cinemática de la Partícula

La figura representa las paletas de una hélice de bomba centrífuga que gira a una velocidad constante de 300 r.p.m. en el sentido de las agujas del reloj. Las partículas de fluído resultan tener una velocidad absoluta cuya componente en la dirección radial es de 3 m/s al salir de la paleta. Además, el módulo de la velocidad de las partículas medida relativa a la paleta aumenta a razón de 24 m/s2 inmediatamente antes de abandonar la paleta. Determinar la aceleración absoluta de una partícula de fluído en el instante inmediato anterior a salir de la hélice. El radio de curvatura r de la paleta en su extremo es de 20 cm.

a=108.16 m/s2

Tomaremos el sistema de ejes X e Y que aparecen en la figura. Además, como usaremos las componentes intrínsecas para la velocidad y la aceleración relativas, marcamos también los vectores unitarios ut y un en el instante en que las partículas de fluído abandonarían la paleta de la hélice. El vector unitario en dirección normal tiene la dirección del radio de curvatura y apuntando hacia el centro de curvatura, y el vector unitario tangencial es perpendicular a él y tiene el sentido de avance que tendrían las partículas del fluído. La velocidad angular es:

ω=300 rev/min=31.42 rad/s ⇒ ω=-31.42k

Llamaremos P al punto en el cual las partículas abandonan la hélice, y O al punto central de la misma, que sería el origen de coordenadas. En el punto P la aceleración absoluta de las partículas es:

aP=aO+α X OP-ω2OP+2ω X vr+ar

Vamos a ir determinando los parámetros que aparecen en esa ecuación. El punto O es un punto fijo, que no tiene ni velocidad ni aceleración:

aO=0

Como la velocidad angular es constante, la aceleración angular es nula:

α=0 ⇒ α X OP=0

El vector de posición, de acuerdo con los ejes elegidos, será:

OP=0.15i

Nos falta ahora la velocidad relativa. Para ello acudimos a la ecuación que nos da la velocidad de las partículas en el punto P en función de la velocidad del punto O. Tendremos:

vP=vO+ω X OP+vr

De la velocidad absoluta de las partículas de fluído en el punto P conocemos la componente radial, que tal como hemos elegido los ejes coincidiría con la componente X de la aceleración absoluta. Entonces:

vP=3i+vyj

Como ya hemos dicho, el punto O es un punto fijo, luego:

vO=0

Y la velocidad relativa es la que tendrían las partículas de fluído por el hecho de moverse en la hélice. Como la trayectoria es curvilínea resultaría cómodo expresar esta velocidad relativa en componentes intrínsecas, de modo que sería:

vr=vrut=vr(cos45Oi+sen45Oj)

Si ahora sustituímos todo en la expresión de la velocidad absoluta de las partículas en el punto P tendremos:

3i+vyj=-4.713j+vrcos45Oi+vrsen45Oj

 

Si igualamos por separado las componentes sobre el eje X y sobre el eje Y tendremos:

Eje X: 3=vrcos45O ⇒ vr=4.24 m/s2

Con lo cual la velocidad relativa es:

vr=vr(cos45Oi+sen45Oj)=4.24(cos45Oi+sen45Oj)=3i+3j

Y nos faltaría por último la aceleración relativa. Utilizaremos también las componentes intrínsecas, según las cuales la aceleración tendría dos componentes, la normal y la tangencial:

ar=arnun+artut

El enunciado nos dice que el módulo de la velocidad relativa aumenta a razón de 24 m/s2, luego nos están dando la componente tangencial de la aceleración relativa:

Y la componente normal de la aceleración relativa valdrá:

Tendremos entonces que la aceleración relativa vale:

ar=arnun+artut=89.89(-cos45Oi+sen45Oj)+24(cos45Oi+sen45Oj)=

=-63.56i+63.56j+16.97i+16.97j=-46.59i+80.53j

Sustituyendo todo en la expresión de la aceleración absoluta de las partículas de fluído en el punto P tendremos:

aP=aO+α X OP-ω2OP+2ω X vr+ar

=-148.08i-188.52j+188.52i-46.59i+80.53j=-6.15i-107.99j

Y en módulo:

aP=108.16 m/s2