Problema de Dinámica de la Partícula

Un punto material cae bajo la acción de la gravedad, a través de un medio que le ejerce una fuerza resistente proporcional a su velocidad. Desarrollar ecuaciones para la velocidad y el desplazamiento de la partícula. La velocidad y el desplazamiento valen cero en el instante t=0.

Como el medio ejerce una fuerza proporcional a la velocidad, tendremos que esta fuerza la podemos representar como:

Fr=kv

siendo k la constante de proporcionalidad y v la velocidad en cada instante. En el gráfico tenemos el diagrama de sólido libre del punto. Para el eje Y, que es el único en que se produce movimiento:

ΣFy=ma ⇒ mg-Fr=ma ⇒ mg-kv=ma

Tendremos en cuenta que la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

Tenemos ya las variables separadas, luego integramos, teniendo en cuenta que cuando t=0 ⇒ v=0:

Si ahora queremos la ecuación del desplazamiento de la partícula, no tenemos más que tener en cuenta que la velocidad es la derivada del espacio respecto del tiempo:

Integrando (y teniendo en cuenta que cuando t=0 ⇒ y=0):