Problema de Dinámica de los Sistemas de Partículas

En un juego de billar la bola A está moviéndose con una velocidad v0=(3 m/s)i cuando choca con las bolas B y C que están juntas y en reposo. Tras el choque se observan las tres bolas moviéndose en las direcciones que muestra la figura, con θ=30o. Suponiendo superficies lisas y choques perfectamente elásticos, hallar los módulos de las velocidades vA, vB y vC.

vA=1.5 m/s; vB=1.299 m/s; vC=2.25 m/s

Tomamos un sistema de ejes coordenados como el que aparece en la figura. Como el choque es perfectamente elástico se conservará la cantidad de movimiento en los dos ejes y la energía cinética. Tendremos las ecuaciones:

(px)antes=(px)después

(py)antes=(py)después

(EC)antes=(EC)después

 

Desarrollando las ecuaciones:

mv0=mvAsen30º+mvC

0=mvB-mvAcos30º

Simplificando las masas que son iguales y sustituyendo los valores conocidos:

3=0.5vA+vC

0=vB-0.866vA

9=vA2+vB2+vC2

De la segunda ecuación:

vB=0.866vA

Sustituyendo en las otras dos:

3=0.5vA+vC ⇒ 3=0.5vA+vC

9=vA2+vB2+vC2 ⇒ 9=vA2+(0.866vA)2+vC2

Ahora de la primera ecuación:

3=0.5vA+vC ⇒ vC=3-0.5vA

Y sustituyendo en la otra:

9=vA2+(0.866vA)2+vC2 ⇒ 9=vA2+0.75vA2+(3-0.5vA)2 ⇒ 9=1.75vA2+9+0.25vA2-3vA ⇒ 2vA2-3vA=0

vA=1.5 m/s

vC=3-0.5vA=3-0.5 · 1.5=2.25 m/s

vC=2.25 m/s

vB=0.866vA=0.866 · 1.5=1.299 m/s

vB=1.299 m/s