Problema de Cinemática de la Partícula

El desplazamiento de un punto material que se mueve a lo largo de una recta viene dado por: s=2t3-24t+6, donde s se mide en metros, desde un origen conveniente, y t, en segundos. Determinar: a) el tiempo que emplea el punto en adquirir una velocidad de 72 m/s; b) la aceleración del punto cuando v=30 m/s; c) el desplazamiento del punto en el intervalo de t=1 s a t=4 s; d) la distancia total recorrida en dicho intervalo de tiempo.

a) t=4 s
b) a=36 m/s2
c) Δs=54 m
d) s=74 m

  • La velocidad es la derivada del espacio respecto del tiempo luego:

 

La velocidad valdrá 72 m/s cuando:

v=72 m/s ⇒ 6t2-24=72 ⇒ t=4 s

t=4 s

  • La velocidad valdrá 30 m/s en el instante:

 

v=30 m/s ⇒ 6t2-24=30 ⇒ t=3 s

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

Por tanto en t=3 s la aceleración valdrá:

a=12t=12·3=36 m/s2

a=36m/s2

  • Para t=1 s la posición del móvil será:

 

s1=2t3-24t+6=2-24+6=-16 m

Para t=4 s la nueva posición del móvil será:

s4=2t3-24t+6=2·43+24·4+6=38 m

Por tanto el desplazamiento del móvil es:

Δs=s4-s1=38-(-16)=54 m

Δs=54 m

d) El desplazamiento del móvil puede no coincidir con el recorrido si el móvil invierte en algún momento el sentido de movimiento volviendo hacia atrás. Para que la velocidad pase de positiva a negativa o viceversa (el cambio de sentido implica siempre un cambio en el signo de la velocidad) debe pasar necesariamente por el valor cero. Veamos si sucede eso en algún punto del recorrido. Si la velocidad es nula:

v=0 ⇒ 6t2-24=0 ⇒ t=2 s

La velocidad se anula en t=2 s, lo que significa que desde t=1 hasta t=2 el móvil se desplaza en un sentido recorriendo un espacio:

s1=2t3-24t+6=2-24+6=-16 m; s2=2t3-24t+6=2·23-24·2+6=-26 m

Δs=s2-s1=-26-(-16)= -10 m

Desde t=2 s hasta t=4 s el móvil se desplaza en sentido contrario realizando un desplazamiento:

s2=2t3-24t+6=2·23-24·2+6=-26 m; s4=2t3-24t+6=2·43+24·4+6=38 m

Δs´=s4-s2=38-(-26)=64 m

El espacio total recorrido en todo el intervalo será:

s=Δs+Δs´=10+64=74 m

s=74 m