a) O₂C=34 cm
b) y=-3cos15.65t

a) Llamaremos Y al eje en que se produce el movimiento (eje vertical).

Para la posición de equilibrio tenemos lo que aparece en el diagrama. Como el sistema está en equilibrio se cumplirá:

ΣF_y=0 ⇒ mg+k₂y₀₂-k₁y₀₁=0 ⇒ 0.2 · 9.8+24.5y₀₂-24.5y₀₁=0

1.96+24.5y₀₂-24.5y₀₁=0

Y además tendremos que:

O₁O₂=y₀₁+l₀+h+y₀₂+l₀ ⇒ 0.76=y₀₁+0.25+0.04+y₀₂+0.25 ⇒ y₀₁+y₀₂=0.22

Tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

1.96+24.5y₀₂-24.5y₀₁=0

y₀₁+y₀₂=0.22

De la segunda ecuación:

y₀₁+y₀₂=0.22 ⇒ y₀₁=0.22-y₀₂

Y sustituyendo en la primera:

1.96+24.5y₀₂-24.5y₀₁=0 ⇒ 1.96+24.5y₀₂-24.5(0.22-y₀₂)=0 ⇒ 49y₀₂-3.43=0
y₀₂=0.07 m

Y la otra elongación entonces:

y₀₁=0.22-y₀₂=0.22-0.07=0.0.15 m

Por tanto la altura del centro de gravedad del cilindro podemos ver que es:

y_G=0.34 m

 

b) A continuación desplazamos hacia abajo el bloque C una cantidad «y» y lo dejamos oscilar. Tendremos el sistema que aparece en la figura. Aplicando la segunda ley de Newton:

Teníamos ya de la condición de equilibrio:

mg+k₂y₀₂-k₁y₀₁=0

Luego eliminando estos términos que son nulos:

Tenemos la ecuación de un movimiento armónico simple de frecuencia angular:

Como el bloque realiza un movimiento armónico simple, la ecuación de su posición será del tipo:

y=Asen(ωt+φ₀)

donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular y φ₀ la fase inicial. La amplitud, que es el máximo desplazamiento, es de 3 cm:

A=3 cm

Para la fase inicial sabemos que cuando t=0 ⇒ y=A, luego sustituyendo esta condición en la ecuación:

y=Asen(ωt+φ₀) ⇒ A=Asenφ₀ ⇒ senφ₀=1 ⇒ φ₀=

Con lo cual nos queda la ecuación:

y=3cos15.65t