Problema de Movimiento Oscilatorio

Un cuerpo de masa m se halla suspendido de un resorte helicoidal, habiéndose medido el tiempo empleado en 100 oscilaciones completas para los siguientes valores de m:

m (kg)

t de 100 oscilaciones (s)

1

115.3

2

162.25

3

198.7

7

303.5

 

a) ¿Cuál es la constante recuperadora del resorte?; b) para una masa de 5 kg y sabiendo que la velocidad al pasar por la posición de equilibrio es de 5 m/s, calcular la aceleración al pasar por el punto de máxima elongación; c) una fuerza periódica actúa sobre esa masa de 5 kg. La fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad instantánea y vale 100 N cuando la velocidad es de 2.5 m/s. Calcular la ecuación del movimiento sabiendo que para t=0 la posición es 5 m y la velocidad es de -25 m/s.

a) k=29.92 N/m
b) a=12.27 m/s2
c) x=3.29 e-7.162t+1.709 e-0.838t

a) Los períodos de las distintas masas, se obtienen dividiendo entre 100 el tiempo correspondiente a las 100 oscilaciones:

T (s)

1.153

1.6225

1.987

3.035

 

Tenemos un resorte vertical. Para la posición de equilibrio el sistema está como aparece en la figura. Si denominamos eje Y a la dirección del movimiento:

ΣFy=0 ⇒ mg-ky0=0

Ahora desplazamos el bloque una distancia y hacia abajo y lo dejamos oscilar libremente. Durante el movimiento:

De la condición de equilibrio teníamos que: ΣFy=0 ⇒ mg-ky0=0.

Si eliminamos estos términos de la ecuación diferencial : Nos queda la ecuación de un movimiento armónico simple de frecuencia angular:

Y podemos determinar la constante correspondiente a cada masa y período:

k (N/m)

29.70

29.99

30.0

30.0

 

Haciendo una media aritmética:

b) Para la masa de 5 kg la frecuencia angular será: .

Como tenemos un movimiento armónico simple, la ecuación que nos da la posición de la partícula en función del tiempo es:

y=Asen(ωt+φ0)

En la posición de equilibrio tenemos que y=0 luego nos queda la ecuación:

y=Asen(ωt+φ0) ⇒ 0= Asen(ωt+φ0) ⇒ sen(ωt+φ0)=0 ⇒ cos(ωt+φ0)=1

La velocidad es la derivada del espacio respecto del tiempo: .

Teniendo en cuenta el valor del coseno en ese momento:

v=Aωcos(ωt+φ0)=Aω

Sabemos que en esa posición la velocidad es de 5 m/s luego: . Ahora en el punto de máxima elongación tendremos que: y=A

Aplicando esta condición:

y=Asen(ωt+φ0) ⇒ A=Asen(ωt+φ0) ⇒ sen(ωt+φ0)=1

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo: . Teniendo en cuenta el valor del seno en esta posición:

a=-Aω2sen(ωt+φ0)=-Aω2=-2.04 · 2.452=-12.27 m/s2..

Y en módulo:

a=12.27 m/s2

 

c) La fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad y vale 100 N cuando la velocidad es de 2.5 m/s:

El parámetro de amortiguamiento será: . La frecuencia angular de la oscilación sin amortiguar es: ω0=2.45 rad/s. Como ω0<β, el movimiento es sobreamortiguado, luego la ecuación que lo rige es:

siendo y

Tenemos entonces la ecuación: . Nos falta determinar las constantes A1 y A2. Para ello sabemos que cuando t=0 ⇒ y=5 m ⇒ v=-25 m/s. Aplicando la primera condición:

Para aplicar la condición de la velocidad tenemos que determinar primero la expresión de la misma. Derivando la ecuación de la elongación respecto del tiempo:

Sabemos que cuando t=0 ⇒ v=-25 m/s luego nos queda:

Tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

5=A1+A2

25=7.162A1+0.838A2

De la primera ecuación: 5=A1+A2 ⇒ A1=5-A2. Y sustituyendo en la segunda:

25=7.162A1+0.838A2 ⇒ 25=7.162(5-A2)+0.838A2 ⇒ 25=35.81-7.162A2+0.838A2

10.81=6.324A2 ⇒ A2=1.709 m

Y la otra constante A1: A1=5-A2=5-1.709=3.291 m

Luego la ecuación del movimiento es: