Problema de Movimiento Oscilatorio

Se cuelga un objeto de 2 kg del extremo inferior de un muelle de masa despreciable. En esas condiciones el muelle se alarga 6 cm. Hacemos oscilar hacia arriba y hacia abajo el extremo superior del muelle con un movimiento armónico simple de 1 mm de amplitud. El factor de calidad del sistema es Q=20. a) ¿Cuál deberá ser la frecuencia de las oscilaciones del extremo superior del muelle para que sea máxima la amplitud de las oscilaciones del objeto? b) ¿Cuánto valdrá dicha amplitud máxima? c) ¿Qué potencia está suministrando la fuerza impulsora? d) Supongamos ahora que la frecuencia de la fuerza impulsora es ω=2ω0. ¿Cuál será la amplitud de las oscilaciones del objeto suspendido? e) ¿Qué potencia suministra la fuerza impulsora?

a) ω=12.78 rad/s
b) A=2 cm
c) P=0.0418 W
d) A=0.133 cm
e) P=0.740 mW

a) Tomaremos como eje Y el de la dirección del movimiento, es decir, el vertical. Aislamos el objeto y trazamos el diagrama de sólido libre. Para la posición de equilibrio el resorte se alarga 6 cm luego tenemos:

La frecuencia natural de la oscilación será por tanto:

Y del factor de calidad podemos obtener el parámetro de amortiguamiento:

Como β<ω0 el movimiento es subamortiguado. La frecuencia de la resonancia es entonces:

ω=12.78 rad/s

b) La amplitud correspondiente será:

Como el movimiento es subamortiguado podemos ver que:

ω=ω0

luego tenemos:

F0 es la fuerza externa máxima, luego se corresponde con la aceleración máxima. Dicha aceleración vale Aω2 luego tendremos:

Sustituyendo:

A=2 cm

 

c) La potencia será:

P=mβω2A2=2 · 0.32 · 12.782 · (2 · 10-2)2=0.0418 W

P=0.0418 W

 

d) La frecuencia de la fuerza impulsora es ahora:

ω=2ω0=2 · 12.78=25.56 rad/s

Cambiará también la aceleración máxima, luego cambia la fuerza F0:

Y la amplitud correspondiente será ahora:

A=0.133 cm

e) Y la potencia:

P=mβω2A2=2·0.32·25.562 · 0.001332=0.000740 W=0.740 mW

P=0.740 mW