Problema de Propiedades Elásticas de los Sólidos

Una varilla de aluminio, delgada y uniforme, de 10 cm de longitud, gira en un plano horizontal alrededor de un eje vertical que pasa por uno de sus extremos a razón de 400 r.p.s. a) Expresar el esfuerzo que actúa a lo largo de la varilla en función de la distancia al eje de rotación; b) ¿cuánto vale el esfuerzo máximo? c) ¿Qué aumento de longitud experimenta la varilla? d) Calcular la máxima velocidad que puede tener la varilla sin que ocurra su rotura. Densidad del aluminio: ρ=2700 kg/m3; módulo de Young: E=7.1·1010 N/m2; límite de rotura: σR=14·107 N/m2

a)
b) σmáx=8.527·107 N/m2
c) Δl=0.12 mm
d) ω=512.53 r.p.s.

a) La velocidad angular es:

ω=400 r.p.s.=2513.27 rad/s

La barra está sometida a una tensión igual al producto masa por aceleración, siendo la aceleración normal, por ser una rotación uniforme. Como la aceleración normal depende de la distancia al origen (radio de curvatura) tomaremos un elemento diferencial de la barra, de masa dm y situado a una distancia x del eje de giro. Tendremos entonces, llamando ρ a la densidad volúmica, S a la sección de la barra y V a su volumen:

dF=dman=ρdVan=ρSdxω2x

El esfuerzo (fuerza por unidad de superficie) al que se hallará sometida será:

Integrando:

 

b) El esfuerzo será máximo cuando x=l:

σ
máx=8.527·107 N/m2

 

c) A partir del módulo de Young tenemos:

Δl=0.12 mm

d) Hemos llegado a la expresión:que nos da el esfuerzo longitudinal al que se halla sometido una varilla de densidad ρ y longitud l en función de la velocidad de rotación ω . Si la velocidad de rotación aumenta el esfuerzo aumenta. La varilla romperá cuando el esfuerzo sea ligeramente superior al correspondiente al límite de rotura.

Tendremos, por tanto, que la máxima velocidad angular que puede tener la varilla sin que rompa corresponderá a : σ=σR

ω=512.53 r.p.s.