R= 6.77 cm

En primer lugar pasamos las frecuencias del rojo y del verde a longitudes de onda:

Una pompa de jabón es una película delgada con forma circular. Tendremos una corteza esférica. Llamaremos R al radio externo, r al interno y a al espesor de la película, de modo que como puede verse en el dibujo:

a=R-r

Si nos fijamos en un trozo pequeño de la pompa realmente tenemos el mismo caso que en los problemas anteriores, es decir, una lámina delgada, en este caso de agua jabonosa, que produce interferencias entre las ondas que se reflejan en la cara superior de la lámina y las ondas que se reflejan en la cara inferior de la misma. Para que se vea uno cualquiera de los colores debemos observar un máximo para su longitud de onda. La condición de máximo es que el desfase entre las dos ondas sea igual a un número par de veces π. Tendremos en cuenta en el desfase la diferencia de caminos recorrida y los desfases adicionales producidos por reflexión, en nuestro caso uno, en la cara superior de la lámina. La condición de máximo nos quedará pues:

Nos dicen que la pompa se mira normalmente, luego el ángulo de incidencia es de 0º. Aplicando la ley de Snell:

n_asenθ_i=nsenθ_r ⇒ n_asen0º=nsenθ_r ⇒ 0=nsenθ_r ⇒ senθ_r=0 ⇒ θ_r=0º ⇒ cosθ_r=cos0º=1

Sustituyendo esto:

Supondremos además por comodidad que se trata del primer máximo, con lo cual:

Entonces, para que la pompa se vea roja el espesor de la pompa deberá ser:

Y para que la pompa se vea verde su espesor deberá ser:

¿Cómo se puede variar el espesor de la pompa para que ésta cambie de color? Una forma sencilla de hacer esto es inflando y desinflando la pompa. Si se quiere disminuir el espesor de la pompa se debería inflar la misma, de modo que el radio de la pompa crece a expensas de disminuir su espesor, mientras que si se quiere aumentar el espesor de la película habrá que desinflar la pompa de modo que su radio disminuya y aumente su espesor. En cualquiera de los casos, se mantendrá constante la masa de agua jabonosa de la pompa, tenga ésta el espesor a_R o el espesor a_V (es decir, se vea roja o se vea verde). Tendremos:

m_R=m_V

Suponiendo constante la densidad del agua jabonosa tendremos, si llamamos V al volumen de la película de agua:

ρV_R=ρV_V ⇒ V_R=V_V

El volumen de la pompa se mantiene constante. Dicho volumen será:

Tendremos ahora en cuenta la relación entre el espesor y los radios externo e interno de la pompa:

a=R-r ⇒ r=R-a

Sustituyendo esto tendremos:

Como el espesor es muy pequeño podemos despreciar aquéllos términos en los que aparezca elevado a exponentes superiores a la unidad:

R_V=6.77 cm