Problema de Calor y Primer Principio de la Termodinámica

Un calorímetro contiene agua y dentro de ella un recipiente con 20 cm3 de agua. El equivalente en agua del calorímetro, accesorios y agua que contiene, excepción hecha de la masa m, es de M=400 g. Se pone el recipiente, por medio de un estrecho tubo, en comunicación con un recinto vacío, y así el agua que contiene se vaporiza lentamente, bajando la temperatura del calorímetro. Se hacen dos experimentos: en el primero la temperatura pasa de t1=55.1 oC a t2=26.5 oC y en el segundo de t´1=40 oC a t´2=10.8 oC. No hay pérdidas. Suponiendo que el calor latente de vaporización viene expresado por la fórmula L=a-bt, calcular a y b. Calor específico del agua:c= 1 cal/g oC.

a=618.84 cal/g; b=0.799 cal/g oC

El calor cedido por el calorímetro se emplea en vaporizar el agua del recipiente luego:

(M+m)cdt=Ldm ⇒ (M+m)cdt=(a-bt)dm

Teniendo en cuenta que el calor específico del agua es la unidad, y que además es constante, por lo que no va a influir después en la integración:

(M+m)cdt=(a-bt)dm ⇒ (M+m)dt=(a-bt)dm

Si separamos variables:

Y ahora integramos la ecuación, teniendo en cuenta los límites de la integral. Para el primer miembro tenemos que inicialmente la masa dentro del recipiente es m, y como se va vaporizando irá disminuyendo hasta terminarse, de manera que al final será nula. En cuanto al segundo miembro, las temperaturas inicial y final del proceso se han denominado t1 y t2 luego:

Teniendo en cuenta que la resta de logaritmos proviene del logaritmo del cociente:

Si hacemos lo mismo para la otra transformación obtendríamos la misma expresión pero con las otras temperaturas, es decir:

Como los dos primeros miembros son iguales, los dos segundos también lo serán:

(a-55.1b)(a-10.8b)=(a-40b)(a-26.5b)
a2-10.8ab-55.1ab+595.08b2=a2-40ab-26.5ab+1060b2

0.6ab-464.92b2=0 ⇒ 0.6a-464.92b=0 ⇒ a=774.87b

Además tenemos de la ecuación correspondiente a la integración:

Sustituimos a por la expresión que hemos obtenido para ella:

De donde obtenemos:

b=0.799 cal/gºC

Y el otro parámetro:

a=774.87b=774.87 · 0.799=618.84 cal/g

a=618.84 cal/g