m_vapor=17.39 kg; Recipiente a 0 ^oC, 95.25 kg de hielo y 19.75 kg de agua a 0 ^oC

El calor absorbido por el sistema debe ser igual al calor cedido por el mismo. El recipiente y el hielo se calentarán mientras que el vapor de agua se enfriará. En el calor absorbido habrá que tener en cuenta el que utiliza el recipiente metálico para pasar de -20ºC a 25ºC y el que necesita el hielo para pasar de -20ºC a 0ºC, después para fundirse y después para calentarse desde 0ºC a 25ºC. En el calor cedido habrá que tener en cuenta el que desprende el vapor de agua primero para licuarse y después para enfriarse desde 100ºC hasta 25ºC, y el que desprenden los 15 kg de agua al pasar de 100ºC a 25ºC. Tendremos entonces:

Q_metal+Q_hielo+Q_fusión+Q´_hielo=Q_{condensación}+Q_vapor+Q_agua

 

m_metalc_metalΔt_metal+m_hieloc_hieloΔt_hielo+m_hieloL_fusión+m_hieloc_aguaΔt´_hielo=

=m_vaporL_vapor+m_vaporc_aguaΔt_vapor+m_aguac_aguaΔt_agua

30 · 0.2(25+20)+100 · 0.5(0+20)+100 · 80+100 · 1(0+25)=

=m_vapor · 537+m_vapor · 1(100-25)+15 · 1(100-25)

11770=1125+612m_vapor ⇒ 10645=612m_vapor ⇒

m_vapor=17.39 kg

Ahora vamos a ver las condiciones en que se encontraba el baño cuando se inyectó el vapor. Hemos añadido 15 kg de agua a la mezcla del recipiente con el hielo. Supongamos que todo el hielo se funde y alcanza una temperatura t antes de añadir el vapor de agua. El calor cedido será el que da el agua para pasar de 100ºC a t. En cuanto al calor absorbido tendremos el que utiliza el recipiente para pasar de -20 ^oC a t, el que utiliza el hielo para pasar de -20 ^oC a 0 ^oC, el que utiliza el hielo para fundirse y el que utiliza el hielo ya fundido (agua) para pasar de 0 ^oC a t, esto es:

Q_metal+Q_hielo+Q_fusión+Q´_hielo=Q_agua

m_metalc_metalΔt_metal+m_hieloc_hieloΔt_hielo+m_hieloL_fusión+m_hieloc_aguaΔt´_hielo=m_aguac_aguaΔt_agua

30 · 0.2(t-20)+100 · 0.5(0+20)+100 · 80+100 · 1(t-0)=15 · 1(100-t)

6t-120+1000+8000+100t=1500-15t ⇒ 121t=-7380 ⇒

Vemos que esta temperatura es imposible, ya que no puede haber ocurrido que todos los componentes del sistema se hayan enfriado. Esto significa que no todo el hielo se ha fundido, y que queda una cierta cantidad de hielo sin fundir. El sistema queda entonces a 0 ^oC y sólo habrá fundido una cierta cantidad de hielo que denominaremos x. En este caso el calor cedido provendrá del agua, que se enfría desde 100 ^oC hasta 0 ^oC, mientras que el calor absorbido será utilizado por el recipiente para pasar de -20 ^oC a 0 ^oC, por el hielo para realizar el mismo cambio de temperatura, y por la masa x de hielo para fundirse. Tendremos entonces:

Q_metal+Q_hielo+Q_fusión=Q_agua

m_metalc_metalΔt_metal+m_hieloc_aguaΔt_hielo+xL_fusión=m_aguac_aguaΔt_agua

30 · 0.2(0+20)+100 · 0.5(0+20)+80x=15 · 1(100-0) ⇒ 1120+80x=1500

80x=380 ⇒ x=4.75 kg

Y nos habría quedado sin fundir el resto:

100-x=100+4.75=95.25 kg

Si sumamos los 4.75 kg de hielo fundido a los 15 kg de agua que hemos inyectado nos da un total de 4.75+15=19.75 kg de agua. En resumen tenemos:

Recipiente a 0 ^oC, 19.75 kg de agua a 0 ^oC y 95.25 kg de hielo