Problema de Gravitación

Una estación espacial se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a 400 km de altura sobre la superficie. Se pretende enviar desde la Tierra una lanzadera hasta dicha estación. Sabiendo que cuando la lanzadera está a una altura de la superficie de la Tierra de 45 km y se apaga el motor, la velocidad v0 forma un ángulo Φ0=53o con la vertical (ver figura) y que la trayectoria que sigue es tangente en A a la órbita de la estación, determinar: a) la velocidad y el período de la estación espacial; b) la velocidad v0 de la lanzadera; c) el incremento de velocidad en A para que la lanzadera pueda acoplarse a la estación espacial.
Datos: G=6.67·10-11 Nm2/kg2; MT=6·1024 kg; RT=6370 km.

a) vA=7688.54 m/s, T=5532.54 s
b) v0=3912.9 m/s
c) ΔvA=4727.42 m/s

a) Tenemos los datos:

rA=hA+RT=400+6370=6770 km

rB=hB+RT=45+6370=6415 km

La estación espacial se encuentra en una órbita circular, por lo que la única fuerza que experimenta es la de atracción gravitatoria y la única aceleración que tiene es la normal, ya que el movimiento es circular uniforme. Teniendo en cuenta que esta fuerza y esta aceleración tienen la misma dirección y sentido y aplicando la segunda ley de Newton:

vA=7688.54 m/s

Y mediante la tercera ley de Kepler podemos determinar el período de la órbita, ya que los cuadrados de los períodos son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores (en el caso de una órbita circular de los radios):

T=5532.54 s

 

b) En la trayectoria AB se deben conservar tanto el momento angular como la energía total, ya que nos encontramos ante un caso de fuerzas centrales. Llamaremos v’A a la velocidad de la lanzadera en el punto A, correspondiente a la órbita de transición (no a la circular). Tendremos por tanto que por la conservación del momento angular:

LA=LB ⇒ mrAv’AsenφA=mrBvBsenφB

En el punto A la velocidad es perpendicular al radio vector por lo que:

φA=90º ⇒ senφA=sen90º=1

Entonces:

mrAv’AsenφA=mrBvBsenφB ⇒ rAv’A=rBvBsenφB

Y además se debe conservar la energía total, luego:

Sustituimos v’A por su valor:

v0=3912.9 m/s

 

c) Para que la lanzadera se acople a la estación debe igualar su velocidad. La velocidad de la lanzadera al llegar a A es:

v’A=0.757v0=0.757 · 3912.9=2961.12 m/s

Y debe llegar a la velocidad de la estación, que es:

vA=7688.54 m/s

El incremento de velocidad será por tanto:

ΔvA=vA-v’A=7688.54-2961.12=4727.42 m/s

ΔvA=4727.42 m/s