Problema de Gravitación

a) Cuando la astronave Voyager I alcanzó el punto más cercano de su trayectoria en torno al planeta Júpiter, se observó que había una distancia de 350000 km del centro del planeta a la nave, y ésta tenía una velocidad de 26900 m/s. Determínese la masa de Júpiter suponiendo que la trayectoria de la astronave fuese parabólica. b) Algunos años después, la astronave Voyager II tuvo el punto más cercano de su trayectoria en torno a dicho planeta a una distancia de 715000 km del centro del planeta. Suponiendo que la trayectoria de la nave era parabólica determínese la velocidad máxima del Voyager II al acercarse a Jupiter.

a) M=1.899·1027 kg
b) vmáx=18823 m/s

Conocemos:

rP=350000 km=3.5·108 m; vP=26900 m/s

Llamaremos M a la masa de Júpiter y m a la masa del Voyager I. En el pericentro tenemos la ventaja de que el radio vector es perpendicular a la velocidad, por lo que el momento angular es el producto del radio por la cantidad de movimiento (el ángulo que forman estos dos vectores en ese punto es 90º y su seno la unidad). Como la órbita es parabólica:

M=1.899 ·1027 kg

 

b) Del apartado anterior tendríamos la masa de Júpiter:

M=1.899 · 1027 kg

Además conocemos la distancia en el pericentro:

rP=715000 km=7.15·108 m

El momento angular es constante. Eso significa que como es el producto del radio vector por la cantidad de movimiento, cuanto mayor es el radio menor es la cantidad de movimiento y viceversa, de modo que su producto se mantenga siempre constante. Si queremos entonces que la velocidad sea máxima, la distancia será mínima, y esto se produce en el pericentro o punto más próximo al planeta Júpiter. Entonces:

vmáx=vp

Llamaremos m a la masa del Voyager II. En el pericentro tenemos la ventaja de que el radio vector es perpendicular a la velocidad, por lo que el momento angular es el producto del radio por la cantidad de movimiento (el ángulo que forman estos dos vectores en ese punto es 90o y su seno la unidad). Como la órbita es parabólica:

De donde obtenemos:

vmáx=18823 m/s