Problema de Gravitación

Un vehículo espacial va a encontrarse con un satélite en órbita que circula en torno a la Tierra a una altura constante de 360 km. El vehículo ha alcanzado una altura de 60 km cuando se apagan sus motores y su velocidad v0 forma un ángulo φo=50o con la vertical OB en ese instante. ¿Qué magnitud debe tener v0 para que la trayectoria del vehículo sea tangente a A en la órbita del laboratorio?

v0=3458.14 m/s

 

Llamaremos M a la masa de la Tierra, R a su radio y m a la masa del vehículo. Tenemos los datos:

rA=hA+R=360+6370=6730 km

rB=hB+R=60+6370=6430 km

Y el ángulo que forma el radio vector con la velocidad en el punto B es:

φo=50º

 

Si en el punto A la trayectoria es tangente a la órbita circular, el ángulo que forman el radio vector y la velocidad en este punto es de 90º, por lo que el seno vale la unidad y el momento angular es directamente el producto del radio vector por la cantidad de movimiento. Como el momento angular se mantiene constante, será igual en los puntos A y B y tendremos:

Además, como la energía también se mantiene constante:

Sustituyendo por los correspondientes valores y por la expresión que hemos obtenido para vA nos queda:

De donde obtenemos:

v0=3458.14 m/s