Problema de Gravitación

Después de concluir su misión de exploración en la Luna, los dos astronautas que formaron la tripulación del módulo de excursión lunar Apolo (LEM) se reunirían con el módulo de comando que había permanecido en una órbita circular alrededor de la Luna. Antes de su regreso a la Tierra, los astronautas pondrían su nave en una posición adecuada, de modo que el LEM se colocaría hacia la parte posterior de ésta. Cuando el módulo de comando pasara por A, el LEM se dejaría a la deriva, para estrellarse sobre la superficie de la Luna en el punto B. Sabiendo que el módulo de comando se encontraba en una órbita alrededor de la Luna a una altitud de 120 km, y que el ángulo AOB fue de 50o, determínese la velocidad del LEM relativa al módulo de comando al dejarse a la deriva. El punto A es el apogeo de la trayectoria elíptica de choque y la masa de la Luna es 0.0123 veces la masa de la Tierra.

vLEM/M=-153.66 m/s

Llamaremos M a la masa de la Luna, R a su radio, mM a la masa del módulo de comando y mLEM a la del módulo de excursión lunar. La masa de la Luna será:

M=0.0123MT=0.0123 · 6 · 1024=7.38 · 1022 kg

Y conocemos la distancia en el punto A:

rA=hA+R=120+1740=1860 km

Para determinar la velocidad relativa del LEM respecto del módulo de comando necesitaremos ambas velocidades en el punto A, que es donde el LEM es soltado a la deriva. La velocidad del módulo de comando, vM, es sencilla de determinar si consideramos que se encuentra en una trayectoria circular, donde la velocidad es constante. La única fuerza a la que el módulo se halla sometido es la de atracción gravitatoria, y la única aceleración que posee es la normal o centrípeta. Teniendo en cuenta que tanto fuerza como aceleración tienen la misma dirección y sentido, aplicaremos la segunda ley de Newton:

Ahora pasaremos al LEM. El módulo de excursión se encuentra en la órbita elíptica de aterrizaje que aparece en la figura. El aterrizaje se produce a un ángulo:

θ=180o-50º=130º

 

Para determinar la velocidad del LEM en el punto A necesitamos determinar el parámetro 2a, para así aplicar la conservación de la energía. Como conocemos la distancia rA vamos a buscar la distancia rP. Para ello utilizaremos la ecuación de la cónica:

Conocemos el punto A de la cónica, en el cual r=rA ⇒ θ=180o ⇒ cosθ=-1, con lo cual la ecuación de la cónica queda:

Y conocemos también el punto de aterrizaje, en el que r=R ⇒ θ=130o ⇒ cosθ=-0.643 con lo que tenemos:

Tenemos entonces dos ecuaciones y dos incógnitas:

Resolviendo el sistema:

α=1559 km; ε=0.1618

Entonces la ecuación de la cónica es:

Ahora, para el punto P que es el que nos interesa, cuando r=rP ⇒ θ=0o ⇒ cosθ=1 y tendremos:

Con esto, el eje mayor de la elipse será:

2a=rA+rP=1860+1341.89=3201.89 km

En esta órbita la energía total se mantiene constante, luego si determinamos la energía en el punto A, llamando vLEM a la velocidad del LEM en este punto tendremos:

Entonces, la velocidad relativa del LEM respecto del módulo de comando será:

VLEM/M=vLEM-vM=1473.14-1626.80=-153.66 m/s

VLEM/M= -153.66 m/s