Problema de Gravitación

Un vehículo se encuentra en una órbita circular a 600 km de altura sobre la superficie terrestre, moviéndose en sentido horario. Se pretende transferir dicho vehículo a otra órbita circular a 300 km de altura sobre la superficie terrestre. Para ello, el vehículo describirá una órbita elíptica de transición desde A hasta B. a) Calcular la velocidad del vehículo en la primera órbita circular. b) Calcular el incremento de velocidad que hay que proporcionar al vehículo en el punto A para transferirlo a la órbita elíptica de transición. c) Para producir el cambio de velocidad los motores del vehículo ejercen una fuerza de frenado de 1675.8 N. Si la masa del vehículo es de 600 kg, ¿durante cuánto tiempo debe ejercerse esta fuerza? d) Calcular el período de la órbita de transición. e) Calcular el incremento de velocidad que hay que proporcionar al vehículo en el punto B para transferirlo a la segunda órbita circular. f) Una vez en la segunda órbita circular, al pasar por el punto C, al vehículo se le disminuye la velocidad en 575.6 m/s, situándolo en una nueva órbita elíptica de retorno a la Tierra, órbita cuyo apogeo es el punto C. Calcular el ángulo FOD que define el punto de aterrizaje (punto D) y la altura a la cual estará el vehículo en el punto E,cuando el ángulo FOE sea 160o.

a) vA=7577.43 m/s
b) ΔvA=-83.79 m/s
c) t=30 s
d) T=5593.94 s
e) ΔvB=-84.72 m/s
f) θ=136o; hE=232 km

a) Llamaremos M a la masa de la Tierra, R a su radio y m a la masa del vehículo. Tenemos como datos las distancias:

rA=hA+R=600+6370=6970 km

rB=rC=hB+R=300+6370=6670 km

En la primera órbita circular, el vehículo está sometido únicamente a la acción de la gravedad, y sólo tiene aceleración normal o centrípeta. Como fuerza y aceleración tienen la misma dirección y sentido, aplicando la segunda ley de Newton tendremos:

vA=7577.43 m/s

b) En el punto A, inmediatamente antes del incremento de velocidad, el vehículo se encuentra en la órbita circular de radio rA y su velocidad es vA:

vA=7577.43 m/s

En el punto A inmediatamente después del incremento de velocidad, el vehículo se encuentra situado en la órbita elíptica, y su velocidad es v´A. El eje mayor de esta órbita será:

2a1=rA+rB=6970+6670=13640 km ⇒ a1=6820 km

En esta órbita se conserva la energía total, luego determinándola en el punto A:

El incremento de velocidad será: ΔvA=v´A-vA=7493.64-7577.43=-83.79 m/s

ΔvA= -83.79 m/s

 

c) En las proximidades del punto A tanto la fuerza ejercida por los motores como las velocidades son tangentes a la órbita, luego tienen la misma dirección. Podemos aplicar escalarmente el teorema del impulso lineal:

t=30 s

 

d) Para el período de la primera órbita elíptica se debe aplicar la tercera ley de Kepler, según la cual los cuadrados de los períodos son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores:

T1=5593.94 s

 

e) En el punto B, inmediatamente antes del incremento de velocidad, el vehículo se encuentra en la primera órbita elíptica con velocidad vB. En esta órbita se conserva el momento angular. Además, en los puntos A y B el radio vector es perpendicular a la velocidad, por lo que el momento angular es únicamente el producto del radio vector por la cantidad de movimiento (como el ángulo que forman estos dos vectores es de 90º su seno vale la unidad). Entonces tendremos:

En el punto B inmediatamente después del incremento de velocidad, el vehículo tendrá una velocidad v´B, y estará en la órbita circular de radio rB. Para esta órbita, operando del mismo modo que en la órbita circular de radio rA tendremos:

Por tanto, el incremento de velocidad en el punto B es:

ΔvB=v´B-vB=7745.97-7830.69=-84.72 m/s

ΔvB=-84.72 m/s

 

f) En la segunda órbita circular la velocidad permanece constante, luego es la misma en todos los puntos de la trayectoria:

vC=v´B=7745.97 m/s

Al pasar por el punto C, al vehículo se le disminuye la velocidad en 575.6 m/s y queda transferido a una segunda órbita elíptica, en la cual la velocidad en el punto C es:

v´C=vC-ΔvC=7745.97-575.6=7170.37 m/s

Ahora vamos a utilizar la ecuación de la cónica:

Vamos a determinar las dos constantes de esta ecuación. La ascensión recta la podemos determinar a partir del momento angular, y el momento angular lo podemos calcular en el punto C, donde la velocidad y el radio son perpendiculares. De este modo tendríamos:

De este modo la ecuación de la cónica me queda:

Conozco además el punto C, para el cual r=rC ⇒ θ=180º ⇒ cosθ=-1, lo cual sustituído en la ecuación de la cónica nos da:

Y ya tenemos determinada la ecuación:

Para el punto de aterrizaje se cumple que r=R con lo cual:

θ=136º

Y para el punto E sabemos que θ=160º con lo cual:

Y la altura:

hE=rE-R=6602-6370=232 km

hE=232 km