Gravitación

Un satélite gira a una distancia muy próxima a la Luna describiendo una órbita circular. La gravedad lunar es 1/6 de la terrestre y el radio 1/4 del terrestre. Si el satélite girara alrededor de la Tierra, también muy próximo a ella, con un período T_T, ¿cuál sería el período de revolución del satélite lunar?

Problema de Gravitación.

Dos estaciones espaciales S₁ y S₂ recorren en sentido antihorario órbitas coplanarias en torno a la Tierra de radios r₀=7000 km y 8r₀ respectivamente. 1º) Se desea enviar un vehículo desde S₁ hasta S₂, y para ello ha de ser lanzado tangencialmente a la órbita de S₁ y ha de alcanzar a S₂ con una velocidad tangente a la órbita de ésta. Tras un período muy corto de vuelo propulsado, el vehículo irá en vuelo libre de S₁ a S₂. a) Determinar la velocidad de lanzamiento del vehículo (velocidad relativa a S₁). b) Determinar el ángulo θ que define la posición a ocupar por S₂ en el momento del lanzamiento. 2º) Inmediatamente después de que S₁ lance el vehículo, se pretende hacer regresar a la Tierra dicha estación espacial disminuyendo su velocidad de forma prácticamente instantánea. De esta forma se inicia una trayectoria elíptica de acercamiento a la Tierra, trayectoria cuyo apogeo es el mismo punto en que S₁ lanzó el vehículo. Determinar la velocidad de aterrizaje, si el ángulo que define el punto en que aquél se produce es -45^o.

Problema de Gravitación.

Un vehículo espacial, de masa m=1000 toneladas, describe una órbita circular en torno a la Tierra, completando una vuelta cada 10 horas. Cuando está en la posición A se le comunica un incremento de velocidad Dv=-1300 m/s, pasando de esta forma a describir una órbita elíptica. Determinar:
a) El semieje mayor de dicha órbita.
b) La velocidad en el punto B.
A continuación, en el punto B, se produce un incremento de energía en el vehículo DE=+1,29·10¹² J, con lo que el vehículo pasa a describir una segunda órbita elíptica. Determinar:
c) El periodo T de esta segunda órbita elíptica.
Datos: G = 6,67·10^-11 N·m²/kg², M_Tierra = 6·10²⁴ kg, R_Tierra = 6370 km.

Problema de Gravitación. Aparece en la convocatoria de SEP1998.

Un satélite recorre una órbita circular situada 10000 km por encima de la superficie terrestre. En el punto A se reduce su velocidad para situar al satélite en una órbita elíptica de transición cuya altitud mínima es de 5000 km en el punto B. En el punto B se vuelve a reducir la velocidad del satélite para introducirlo en una trayectoria circular. Por último, tras dar una vuelta completa y pasar de nuevo por el punto B se reduce la velocidad nuevamente para insertar el vehículo en una trayectoria elíptica de aterrizaje cuyo apogeo es el punto B. Determinar: a) la disminución de velocidad Δv_A que hay que proporcionar al vehículo en el punto A para pasar de la órbita circular grande a la elíptica de transición; b) el período de la trayectoria elíptica de transición; c) la excentricidad de dicha órbita; d) la disminución de velocidad Δv_B que se debe comunicar al satélite en el punto B para situarlo en la trayectoria circular pequeña; e) si la reducción de velocidad del satélite para la inserción en la trayectoria de aterrizaje es de 2100 m/s, ¿a qué ángulo se producirá éste?
Datos: masa de la Tierra: M=6•10²⁴ kg; radio de la Tierra: R=6370 km; constante de gravitación universal: G=6.67•10^-11 Nm²/kg².

Problema de Gravitación. Aparece en la convocatoria de FEB2008.

La nave espacial «Calister» orbita en torno a la Tierra describiendo la trayectoria elíptica (1). Las distancias de la nave al centro de la Tierra en el apogeo y perigeo son 20000 km y 10000 km respectivamente. Determinar: a) la velocidad de la nave en dichos puntos; b) la ecuación de la cónica que describe esta trayectoria. c) En el apogeo, la nave «Calister» enciende los motores para frenarse y pasar a una nueva orbita elíptica (2). En esta nueva órbita elíptica la nave debe tener una velocidad en su perigeo de 8116 m/s. Determinar la distancia de máxima aproximación a la Tierra para la nueva órbita elíptica (2). d) Finalmente la nave «Calister» desea encontrarse con la nave «Epolus» que se encuentra describiendo la orbita circular (3). Determinar la variación de velocidad que se debe comunicar a la nave «Calister» en las proximidades del perigeo de la órbita elíptica (2) para que tenga lugar el acoplamiento de ambas en dicho punto; e) determinar la posición en que debe encontrarse «Epolus» cuando «Calister» esté en su apogeo (θ), para que tenga lugar dicho acoplamiento de ambas en el perigeo de «Calister».
Datos: G=6.67•10^-11 Nm²kg^-2; M_Tierra = 6.10²⁴ kg

Problema de Gravitación. Aparece en la convocatoria de FEB2005.

¿A qué distancia sobre la superficie terrestre se ha de mover un satélite artificial para que se halle siempre sobre el mismo punto de la Tierra?

Problema de Gravitación.

Tras completar su misión de exploración en la Luna los astronautas que componen la tripulación de un módulo de exploración lunar Apolo se disponen a reunirse con el módulo de mando que está en órbita sobre la Luna a 140 km de altura. Para ello encienden los motores del módulo lunar y siguen una trayectoria curva hasta un punto A, 8 km por encima de la superficie lunar, donde apagan los motores. Sabiendo que en ese instante el módulo lunar se mueve paralelamente a la superficie de la Luna y que seguirá avanzando a lo largo de una trayectoria elíptica para encontrarse con el módulo de mando en el punto B, determinar: a) la velocidad del módulo lunar al apagarse los motores; b) la velocidad relativa con que el módulo de mando alcanzará al módulo lunar; c) una vez que el módulo lunar se incorpora al módulo de mando, la nave espacial Apolo gira sobre sí misma para que el módulo lunar quede mirando hacia atrás. Después de recorrer una órbita completa, cuando la nave vuelve a pasar por el punto B, el módulo lunar es lanzado a la deriva y se estrella contra la superficie lunar en el punto C. Determinar su velocidad relativa respecto al módulo de mando cuando es lanzado a la deriva, sabiendo que el ángulo BOC es de 90^o. El punto B es el apogeo de la trayectoria elíptica de choque.

Problema de Gravitación.

El módulo lunar, que se halla en reposo sobre la superficie de la Luna, ha de volver al módulo de mando que está recorriendo una órbita circular 80 km por encima de la superficie de la Luna. Determinar: a) la velocidad (módulo, dirección y sentido) con la que ha de abandonar el módulo lunar la superficie de la Luna para encontrarse con el módulo de mando en la forma que se indica; b) en cuánto ha de aumentar su celeridad el módulo lunar en su apocentro para completar su encuentro con el módulo de mando; c) una vez en el punto A, el módulo de mando y el módulo lunar se acoplan (el peso de ambos es de 12000 kg). Después de dar una vuelta completa a la órbita circular y al pasar de nuevo por el punto A, el sistema comienza una órbita de alunizaje, órbita cuyo apocentro es el punto A. Para pasar a la órbita de alunizaje se conecta el motor por poco tiempo. La velocidad relativa de los gases que salen de la tobera del cohete es u=10⁴ m/s. Calcular la masa de combustible que habrá que gastar para que, si el motor se conecta en el punto A de la trayectoria, la nave se pose sobre la Luna en el punto B; d) el ángulo que formarán entre sí los vectores posición (respecto del centro de la Luna) y velocidad de la nave cuando ésta tenga una velocidad de 1662 m/s.
Datos: masa de la Luna: 7.35·10²² kg; G=6.67·10^-11 Nkg²m^-2; radio de la Luna: 1740 km.

Problema de Gravitación.

Determina la velocidad de escape de un móvil. ¿Qué ocurre si v > v_escape? ¿Y si v < v_escape?

Cuestion de Gravitación.

Cuando la nave espacial Apolo II quedó en órbita alrededor de la Luna su masa era 9.979·10³ kg, su período fue de 119 min y su distancia media al centro de la Luna fue 1.849·10⁶ m. Suponiendo que su órbita fue circular y que la Luna es una esfera uniforme, determine: a) la masa de ésta; b) la rapidez orbital de vehículo espacial; c) la energía mínima requerida para que el vehículo deje la órbita y escape de la gravedad lunar.

Problema de Gravitación.