Gravitación

El programa de un vuelo no tripulado para explorar el planeta Marte establece que el vehículo de regreso a la Tierra describirá en primer lugar una órbita circular alrededor del planeta. Al pasar por el punto A será transferido a una órbita elíptica de transición encendiendo sus motores para aumentar su velocidad en ΔvA. Cuando pase por el punto B, el vehículo volverá a ser transferido a una segunda órbita de transición, disminuyendo la velocidad en ΔvB. Finalmente, al pasar el vehículo por el punto C se aumentará su velocidad en ΔvC para situarlo en la trayectoria parabólica de retorno. Sabiendo que el radio del planeta Marte es R=3400 km, que su masa es 0.108 veces la masa de la Tierra y que las alturas de los puntos A, B y C son dA=2500 km, dB=90000 km y dC=1000 km respectivamente, determinar: a) el aumento de velocidad ΔvA que es necesario proporcionar al vehículo en el punto A para transferirlo a la primera órbita de transición; b) la variación de velocidad ΔvB que es necesario proporcionar al vehículo en el punto B para transferirlo a la segunda órbita de transición; c) el aumento mínimo de velocidad ΔvC que es preciso proporcionar al vehículo en el punto C para situarlo en una trayectoria de escape; d) el tiempo empleado por el vehículo para recorrer la primera órbita de transición entre los puntos A y B.

Problema de Gravitación.

Con el fin de reparar los paneles solares de un satélite terrestre, de comunicaciones, situado en una órbita geosíncrona (es decir permanece fijo respecto al suelo terrestre) se envía a unos técnicos en un vehículo espacial. Sabiendo que dicho vehículo describe inicialmente una órbita circular, coplanaria y en el mismo sentido que el satélite a 650 km sobre la superficie de la tierra, antes de pasar a la órbita elíptica de transición que le lleve hasta el satélite (ver figura). Determinar. a) El radio R de la órbita que describe el satélite así como su velocidad. b) El incremento de velocidad que deben de proporcionar los motores al vehículo en el punto A para transferirlo a la órbita elíptica de transición, así como el incremento de velocidad en B para acoplarse al satélite. c) El ángulo θ que define la posición del satélite, respecto al punto de encuentro, en el momento que el vehículo pasa a la trayectoria de transición .Masa de la tierra 6·1024 kg ; radio de la tierra 6370 km; constante de Gravitación universal G= 6.67·10-11 N·m2/kg2.

Problema de Gravitación.

Se pretende colocar una sonda espacial en una órbita circular de 4000 km de radio alrededor de Marte. Para ello cuando la sonda llega a A, punto de su trayectoria de aproximación más cercano a Marte, se inserta primero en una órbita elíptica de transferencia reduciendo su velocidad en ΔvA. Esta órbita la lleva hasta el punto B con una velocidad muy reducida. Ahí la sonda es insertada en una segunda órbita de transferencia reduciendo su velocidad en ΔvB. Finalmente cuando llega al punto C se introduce en la órbita circular deseada reduciendo su velocidad en ΔvC. Sabiendo que rA=9000 km, que ΔvA= 440 m/s y que la sonda se aproxima a A siguiendo una trayectoria parabólica, hallar: a) la distancia rB del centro de Marte al punto B; b) el incremento de velocidad ΔvB; c) el tiempo que tarda la sonda en pasar de A hasta B en su primera órbita de transferencia; d) el incremento de velocidad ΔvC; e) la ecuación de la segunda órbita de transferencia.
G=6.67•10-11Nm2/kg2 y MMarte=6.444•1023kg.

Problema de Gravitación. Aparece en la convocatoria de FEB2007.

Dos estaciones espaciales S1 y S2 recorren en sentido antihorario órbitas coplanarias en torno a la Tierra de radios r0=7000 km y 8r0 respectivamente. 1º) Se desea enviar un vehículo desde S1 hasta S2, y para ello ha de ser lanzado tangencialmente a la órbita de S1 y ha de alcanzar a S2 con una velocidad tangente a la órbita de ésta. Tras un período muy corto de vuelo propulsado, el vehículo irá en vuelo libre de S1 a S2. a) Determinar la velocidad de lanzamiento del vehículo (velocidad relativa a S1). b) Determinar el ángulo θ que define la posición a ocupar por S2 en el momento del lanzamiento. 2º) Inmediatamente después de que S1 lance el vehículo, se pretende hacer regresar a la Tierra dicha estación espacial disminuyendo su velocidad de forma prácticamente instantánea. De esta forma se inicia una trayectoria elíptica de acercamiento a la Tierra, trayectoria cuyo apogeo es el mismo punto en que S1 lanzó el vehículo. Determinar la velocidad de aterrizaje, si el ángulo que define el punto en que aquél se produce es -45o.

Problema de Gravitación.

Un vehículo espacial, de masa m=1000 toneladas, describe una órbita circular en torno a la Tierra, completando una vuelta cada 10 horas. Cuando está en la posición A se le comunica un incremento de velocidad Dv=-1300 m/s, pasando de esta forma a describir una órbita elíptica. Determinar:
a) El semieje mayor de dicha órbita.
b) La velocidad en el punto B.
A continuación, en el punto B, se produce un incremento de energía en el vehículo DE=+1,29·1012 J, con lo que el vehículo pasa a describir una segunda órbita elíptica. Determinar:
c) El periodo T de esta segunda órbita elíptica.
Datos: G = 6,67·10-11 N·m2/kg2, MTierra = 6·1024 kg, RTierra = 6370 km.

Problema de Gravitación. Aparece en la convocatoria de SEP1998.

Un satélite recorre una órbita circular situada 10000 km por encima de la superficie terrestre. En el punto A se reduce su velocidad para situar al satélite en una órbita elíptica de transición cuya altitud mínima es de 5000 km en el punto B. En el punto B se vuelve a reducir la velocidad del satélite para introducirlo en una trayectoria circular. Por último, tras dar una vuelta completa y pasar de nuevo por el punto B se reduce la velocidad nuevamente para insertar el vehículo en una trayectoria elíptica de aterrizaje cuyo apogeo es el punto B. Determinar: a) la disminución de velocidad ΔvA que hay que proporcionar al vehículo en el punto A para pasar de la órbita circular grande a la elíptica de transición; b) el período de la trayectoria elíptica de transición; c) la excentricidad de dicha órbita; d) la disminución de velocidad ΔvB que se debe comunicar al satélite en el punto B para situarlo en la trayectoria circular pequeña; e) si la reducción de velocidad del satélite para la inserción en la trayectoria de aterrizaje es de 2100 m/s, ¿a qué ángulo se producirá éste?
Datos: masa de la Tierra: M=6•1024 kg; radio de la Tierra: R=6370 km; constante de gravitación universal: G=6.67•10-11 Nm2/kg2.

Problema de Gravitación. Aparece en la convocatoria de FEB2008.

La nave espacial «Calister» orbita en torno a la Tierra describiendo la trayectoria elíptica (1). Las distancias de la nave al centro de la Tierra en el apogeo y perigeo son 20000 km y 10000 km respectivamente. Determinar: a) la velocidad de la nave en dichos puntos; b) la ecuación de la cónica que describe esta trayectoria. c) En el apogeo, la nave «Calister» enciende los motores para frenarse y pasar a una nueva orbita elíptica (2). En esta nueva órbita elíptica la nave debe tener una velocidad en su perigeo de 8116 m/s. Determinar la distancia de máxima aproximación a la Tierra para la nueva órbita elíptica (2). d) Finalmente la nave «Calister» desea encontrarse con la nave «Epolus» que se encuentra describiendo la orbita circular (3). Determinar la variación de velocidad que se debe comunicar a la nave «Calister» en las proximidades del perigeo de la órbita elíptica (2) para que tenga lugar el acoplamiento de ambas en dicho punto; e) determinar la posición en que debe encontrarse «Epolus» cuando «Calister» esté en su apogeo (θ), para que tenga lugar dicho acoplamiento de ambas en el perigeo de «Calister».
Datos: G=6.67•10-11 Nm2kg-2; MTierra = 6.1024 kg

Problema de Gravitación. Aparece en la convocatoria de FEB2005.