Gravitación

Tras completar su misión de exploración en la Luna los astronautas que componen la tripulación de un módulo de exploración lunar Apolo se disponen a reunirse con el módulo de mando que está en órbita sobre la Luna a 140 km de altura. Para ello encienden los motores del módulo lunar y siguen una trayectoria curva hasta un punto A, 8 km por encima de la superficie lunar, donde apagan los motores. Sabiendo que en ese instante el módulo lunar se mueve paralelamente a la superficie de la Luna y que seguirá avanzando a lo largo de una trayectoria elíptica para encontrarse con el módulo de mando en el punto B, determinar: a) la velocidad del módulo lunar al apagarse los motores; b) la velocidad relativa con que el módulo de mando alcanzará al módulo lunar; c) una vez que el módulo lunar se incorpora al módulo de mando, la nave espacial Apolo gira sobre sí misma para que el módulo lunar quede mirando hacia atrás. Después de recorrer una órbita completa, cuando la nave vuelve a pasar por el punto B, el módulo lunar es lanzado a la deriva y se estrella contra la superficie lunar en el punto C. Determinar su velocidad relativa respecto al módulo de mando cuando es lanzado a la deriva, sabiendo que el ángulo BOC es de 90^o. El punto B es el apogeo de la trayectoria elíptica de choque.

Problema de Gravitación.

El módulo lunar, que se halla en reposo sobre la superficie de la Luna, ha de volver al módulo de mando que está recorriendo una órbita circular 80 km por encima de la superficie de la Luna. Determinar: a) la velocidad (módulo, dirección y sentido) con la que ha de abandonar el módulo lunar la superficie de la Luna para encontrarse con el módulo de mando en la forma que se indica; b) en cuánto ha de aumentar su celeridad el módulo lunar en su apocentro para completar su encuentro con el módulo de mando; c) una vez en el punto A, el módulo de mando y el módulo lunar se acoplan (el peso de ambos es de 12000 kg). Después de dar una vuelta completa a la órbita circular y al pasar de nuevo por el punto A, el sistema comienza una órbita de alunizaje, órbita cuyo apocentro es el punto A. Para pasar a la órbita de alunizaje se conecta el motor por poco tiempo. La velocidad relativa de los gases que salen de la tobera del cohete es u=10⁴ m/s. Calcular la masa de combustible que habrá que gastar para que, si el motor se conecta en el punto A de la trayectoria, la nave se pose sobre la Luna en el punto B; d) el ángulo que formarán entre sí los vectores posición (respecto del centro de la Luna) y velocidad de la nave cuando ésta tenga una velocidad de 1662 m/s.
Datos: masa de la Luna: 7.35·10²² kg; G=6.67·10^-11 Nkg²m^-2; radio de la Luna: 1740 km.

Problema de Gravitación.

Determina la velocidad de escape de un móvil. ¿Qué ocurre si v > v_escape? ¿Y si v < v_escape?

Cuestion de Gravitación.

Cuando la nave espacial Apolo II quedó en órbita alrededor de la Luna su masa era 9.979·10³ kg, su período fue de 119 min y su distancia media al centro de la Luna fue 1.849·10⁶ m. Suponiendo que su órbita fue circular y que la Luna es una esfera uniforme, determine: a) la masa de ésta; b) la rapidez orbital de vehículo espacial; c) la energía mínima requerida para que el vehículo deje la órbita y escape de la gravedad lunar.

Problema de Gravitación.

Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta m₁ se mueve en una órbita circular de radio 1·10⁸ km y un período de dos años. El planeta m₂ se mueve en una órbita elíptica cuya distancia más próxima es r₁=1·10⁸ km y la más alejada r₂=1.8·10⁸ km, según se ve en la figura. a) Hallar el período de la órbita de m₂; b) ¿Cuál es la masa de la estrella? c) ¿Qué planeta tiene mayor velocidad en el punto P? ¿Cuál tiene mayor energía total? d) ¿Cómo es en comparación la velocidad de m₂ en el punto P respecto a la del punto A?

Problema de Gravitación.

a) ¿Cuál es el flujo del campo gravitatorio de las dos esferas blanca y negra de idéntica masa m que atraviesa las botellas en los casos considerados? Las esferas se consideran puntuales. b) Determinar igualmente el flujo del campo eléctrico suponiendo la bola blanca con carga +Q y la negra -Q.

Cuestion de Gravitación.

Un trasbordador espacial S y un satélite de comunicaciones A se encuentran en las órbitas circulares que se muestran en la figura. Para recuperar el satélite el trasbordador se ubica primero en una trayectoria elíptica BC incrementando su velocidad cuando pasa por B en Δv_B=85 m/s; después, cuando el trasbordador se aproxima a C (apogeo de la órbita BC) su velocidad se incrementa en Δv_C para incorporarlo a la segunda órbita CD de transferencia elíptica, y finalmente se incrementa su velocidad en D para insertarlo en la órbita circular del satélite. Determinar: a) la distancia desde el centro de la tierra al punto C (r_C); b) el incremento de velocidad en C Δv_C; c) el incremento de velocidad en D Δv_D; d) el periodo de la segunda elipse de transferencia; e) el ángulo Φ que define la posición del satélite cuando el trasbordador entra en la segunda órbita de transferencia para que se encuentren en D.
R_Tierra=6370 km; M_Tierra=6•10²⁴ kg; G=6.67•10^-11 N m²/kg²

Problema de Gravitación. Aparece en la convocatoria de ENE2009.

Un satélite viaja inicialmente en una órbita circular a 640 km sobre la superficie de la Tierra y su masa es 220 kg. a) Determinar su velocidad y su período. b) Por diversas razones, el satélite pierde energía mecánica a un ritmo (en promedio) de 1.4·10⁵ J por cada revolución orbital completa. Adoptando la aproximación razonable de que la trayectoria es una circunferencia cuyo radio disminuye lentamente, determinar su distancia a la superficie de la Tierra, su rapidez y su período al final de 1500 revoluciones orbitales; c) ¿cuál es la magnitud de la fuerza retardadora media?

Problema de Gravitación.

Una nave espacial describe una órbita circular de radio r₀ a una velocidad v₀, en torno a un cuerpo celeste indeterminado de centro O. Cuando se encienden los motores de la nave, su velocidad aumenta de v₀ a αv₀ describiendo entonces una órbita elíptica. Demostrar que en esta nueva órbita la distancia máxima alcanzada por la nave depende únicamente de r₀ y α, y expresar el cociente r_máxima/r₀ en función de α.

Problema de Gravitación.

Un objeto, por ejemplo un cometa recientemente descubierto, entra en el sistema solar y en su recorrido pasa alrededor del Sol. ¿Cómo podremos averiguar si dicho objeto regresará muchos años después o si nunca retornará?

Cuestion de Gravitación.